Après des études de philosophie à l'École normale supérieure, il se forme à l’École du Théâtre national de Chaillot dirigé par Antoine Vitez.

En 1988, il fonde Le Théâtre-Machine, compagnie avec laquelle il crée ses premiers spectacles, réunis en 1991 en une trilogie intitulée Les Hommes de neige pour laquelle il reçoit le prix de la révélation théâtrale du syndicat de la critique. Il devient un invité régulier du Festival d’Automne à Paris et commence à présenter son travail dans les grandes capitales européennes (Berlin, Londres, Moscou). En 1992, il met en scène son premier opéra au Châtelet.

Directeur du Centre dramatique national/Orléans-Loiret-Centre de 1993 à 1998, il y crée une dizaine de spectacles reçus dans les plus grands festivals, et reçoit pour Peer Gynt d’Ibsen le prix Georges-Lerminier du syndicat de la critique. Il est sollicité à l'étranger pour l’opéra (Berlin avec Fidelio, Bruxelles, Venise). Pour le théâtre, il est invité en Angleterre pour Measure for Measure de Shakespeare, au Piccolo Teatro de Milan pour Mercanto di Venezia du même auteur, à Munich pour Woyzeck de Büchner – qui reçoit le Bayerischer Theaterpreis.

Il est directeur du Théâtre national de Strasbourg de 2000 à 2008. Brand d’Ibsen (2005) et Tartuffe de Molière (2008) sont couronnés du prix Georges-Lerminier du Syndicat de la critique. Il met en scène de nombreux opéras au Festival d’Aix-en-Provence, dont Ring de Wagner. En 2008, il crée Don Carlo de Verdi à La Scala de Milan.

Il est directeur du Théâtre national de la Colline de 2010 à 2015. Il y met en scène Six personnages en quête d’auteur et les Géants de la montagne de Pirandello, ses créations d’Arne Lygre, ou encore Le Canard sauvage d’Ibsen. À l’opéra, il signe Pelléas et Mélisande de Debussy à l’Opéra-Comique et Idoménée et Don Giovanni de Mozart, Norma de Bellini au Théâtre des Champs-Élysées.

En janvier 2016, Stéphane Braunschweig est nommé à la direction de l'Odéon-Théâtre de l'Europe.

Il a publié un recueil de textes et d’entretiens sur le théâtre, Petites portes, grands paysages (Actes Sud), et traduit des pièces de Büchner, Kleist, Brecht, Pirandello et Lygre.